フェーザで解く交流回路
from complex numbers to ideal transformers

この教材は、3年生の「電気回路II」演習プリント No.1〜No.11 を解くために必要な知識を、前提ゼロ(高校数学の三角関数と、直流回路のオームの法則くらい)から積み上げるためのものです。

方針は3つだけです。

1. 天下りにしない。「\(j\omega L\) と覚えろ」ではなく、なぜ微分が \(j\omega\) 倍になるのかを一度きちんと導出します。導出を一度見ておくと、公式を忘れても自力で復元できます。
2. 手を動かす場所を作る。各章の最後に短い練習問題があり、答えは折りたたみで隠してあります。読むだけでは計算力はつきません。
3. 演習と直結させる。例題はすべて演習プリントと同じ型(数値だけ変えたもの)です。例題を自力で再現できれば、プリント本体は数値を差し替えるだけで解けます。

0.1演習11回分と章の対応マップ

0.2記号の約束

• 虚数単位は \(j\)(\(j^2=-1\))。電気では電流 \(i\) と区別するため \(i\) ではなく \(j\) を使います。
• 文字の上に点が付いたもの(\(\dot{E},\ \dot{I},\ \dot{Z}\))は複素数(フェーザやインピーダンス)を表します。点なしの \(E, I\) はその大きさ(絶対値)です。
• フェーザの大きさは、断りがなければ実効値です(2章)。
• 角度は \(\angle\) 記法で書きます:\(\dot{E}=100\angle 30^\circ\) は「大きさ100、偏角30°」。
• 数値は演習の指示に合わせ、必要なら小数第3位を四捨五入して小数第2位まで示します。

1.1なぜ交流回路に複素数が出てくるのか

先に動機だけ話します。交流回路では、電圧も電流も \(\sin\) 波で振動しています。素直に扱うと、コイルやコンデンサの性質(電圧と電流の関係)が微分・積分で書かれるため、回路方程式が微分方程式になってしまいます。No.2 のような回路を微分方程式で解くのは、正直やっていられません。

ところが、「振動している量を複素数1個で代表させる」という発想(フェーザ法、2章)を使うと、微分方程式がただの連立一次方程式に化けます。微分が「\(j\omega\) を掛ける」という操作に置き換わるからです。つまり複素数は飾りではなく、微分方程式から逃げるための実用的な道具です。だからまず、複素数の計算を「速く・正確に」できるようにします。

1.2虚数単位 j と複素数の形

数学では \(i\) と書きますが、電気工学では電流の記号 \(i\) と衝突するので \(j\) を使います。中身は同じものです。

\(j\) を何回も掛けると、\(j^1=j,\ j^2=-1,\ j^3=-j,\ j^4=1\) と4周期で回ります。「4回掛けると元に戻る」——この回るという感覚が後で効いてきます(1.6節)。

1.3四則演算と有理化(共役)

足し算・引き算は、実部どうし・虚部どうしをまとめるだけです。

掛け算は、普通に分配して \(j^2=-1\) で整理します。

問題は割り算です。分母に \(j\) が残ったままでは大きさも角度も読み取れないので、必ず分母を実数に直します。そのための道具が共役複素数です。

例:\(\dfrac{100}{3+j4}\) を計算します。分母の共役 \(3-j4\) を分子分母に掛けて、

演習の電流計算(\(\dot{I}=\dot{E}/\dot{Z}\))は、ほぼ全部この形です。「分母の共役を分子分母に掛ける」を反射にしてください。

1.4複素平面 — 複素数は「矢印」である

複素数 \(a+jb\) は、横軸に実部・縦軸に虚部をとった平面(複素平面)上の点、あるいは原点からその点へ伸びる矢印(ベクトル)として描けます。

矢印として見ると、複素数には「長さ」と「向き」があります。

交流回路では、この「長さ」が電圧・電流の実効値に、「角度」が位相に対応します。複素数の絶対値と偏角を素早く出せることが、そのまま「フェーザ表示で答えよ」に答える力になります。

1.5極形式と ∠ 記法 — 直交形式との相互変換

複素数の書き方は2通りあります。

• 直交形式: \(a+jb\) —— 足し算・引き算に強い
• 極形式: \(r\angle\theta\)(大きさ \(r\)、角度 \(\theta\)) —— 掛け算・割り算に強い

三角関数で結ぶと \(a = r\cos\theta,\ b = r\sin\theta\) なので、変換は次の通りです。

例:\(100\angle 45^\circ = 100\cos45^\circ + j100\sin45^\circ = 70.71 + j70.71\)。逆に \(8-j6\) は \(\sqrt{64+36}=10\)、\(\tan^{-1}(-6/8)=-36.87^\circ\) なので \(10\angle{-36.87^\circ}\) です。

象限の補正 — 電卓が嘘をつく場所

\(\tan^{-1}\) は \(-90^\circ\)〜\(+90^\circ\) しか返せません。実部が負のとき(第2・第3象限)は、電卓の答えに \(180^\circ\) を足し引きして補正が必要です。

1.6極形式の掛け算・割り算 — 「回転」として理解する

極形式の真価はここです。証明は加法定理から数行で出ます(やってみる価値があります)が、結果は驚くほどシンプルです。

例:\(10\angle60^\circ \times 2\angle{-15^\circ} = 20\angle45^\circ\)。\(\dfrac{20\angle30^\circ}{4\angle120^\circ} = 5\angle{-90^\circ} = -j5\)。

この見方をすると、\(j\) の正体がわかります。\(j = 1\angle90^\circ\) なので、「\(j\) を掛ける」=「矢印を反時計回りに90°回す」です。\(j^2=-1\) は「90°+90°=180° 回すと反対向き」という意味だったわけです。後で出てくる「コイルでは電圧が電流より90°進む」は、式の上では単に「\(j\) が掛かっている」ことの言い換えです。

1.7共役の性質まとめ(6章・7章への布石)

後の複素電力(6.3節)で使うので、共役の性質を並べておきます。\(\dot{Z}=r\angle\theta\) のとき:

• \(\bar{Z} = r\angle(-\theta)\) —— 共役は「角度の符号反転」。実軸に関する鏡映です。
• \(\dot{Z}\bar{Z} = r^2 = |\dot{Z}|^2\) —— 大きさの2乗が出る。
• \(\overline{\dot{Z_1}\dot{Z_2}} = \bar{Z_1}\bar{Z_2}\) —— 積の共役は共役の積。

2.1正弦波の3要素

交流電圧の瞬時値(時刻 \(t\) での実際の値)は、一般に次の形で書けます。

登場人物は3人です。

• \(E_m\):振幅(最大値)。波の山の高さ。\(E=E_m/\sqrt2\) は実効値(2.2節)。
• \(\omega\):角周波数 [rad/s]。1秒間に位相が何ラジアン進むか。周波数 \(f\) [Hz](1秒間の往復回数)とは \(\omega = 2\pi f\) の関係。1往復 = 1周 = \(2\pi\) rad だからです。
• \(\theta\):初期位相。\(t=0\) の瞬間に波がどこから始まるか。

2.2実効値 — なぜ √2 で割るのか

「100Vのコンセント」の100Vは最大値ではなく実効値です。実効値の定義は「同じ抵抗に流したとき、直流と同じ電力を出す値」。抵抗 \(R\) に \(i(t)=I_m\sin\omega t\) を流すと、瞬時電力は \(p=i^2R=I_m^2R\sin^2\omega t\)。\(\sin^2\) の平均値は \(1/2\) なので(半分の時間は山、半分は谷と思えばよい)、平均電力は

つまり「直流 \(I_m/\sqrt2\) [A] を流したのと同じ」。これが実効値 \(I = I_m/\sqrt2\) の正体です。フェーザの大きさには、この実効値を使うのが電気工学の標準的な約束です(だからフェーザ計算の結果をそのまま \(P=VI\cos\theta\) に入れられます。6章)。

2.3位相差 — 「進み」と「遅れ」

2つの波 \(e_1 = \sqrt2 E_1\sin(\omega t + \theta_1)\)、\(e_2 = \sqrt2 E_2\sin(\omega t + \theta_2)\) があるとき、\(\theta_1 > \theta_2\) なら「\(e_1\) は \(e_2\) より位相が進んでいる」と言います。グラフで見ると、\(e_1\) の山が時間的に先に来ます(位相が進む=先にピークを迎える)。逆なら「遅れている」。

交流回路の面白さと厄介さは、素子によってこの位相差が生まれることに集中しています。3章で見る通り、コイルは電流を90°遅らせ、コンデンサは90°進ませます。

2.4フェーザ — 回転するベクトルの「静止画」

ここが本教材で一番大事な節です。ゆっくりいきます。

三角関数の波 \(\sqrt2E\sin(\omega t + \theta)\) を、複素平面で考え直します。長さ \(\sqrt2E\) の矢印が、角度 \(\omega t + \theta\) の向きを指しながら反時計回りに回転しているとしましょう。この矢印の縦方向(虚軸方向)への影が、ちょうど \(\sqrt2E\sin(\omega t+\theta)\) になります。つまり:

下のデモで確かめてください。左が回転する矢印、右がその影(=波形)です。

さて、回路の中の電圧・電流は全部同じ \(\omega\) で回っています(電源が1種類の周波数だから)。全員が同じ速さで回るなら、回転そのものは情報を持ちません。違いは「長さ」と「スタート角度」だけ。そこで、回転を止めて \(t=0\) の静止画だけを記録することにします。それがフェーザです。

例:\(e(t) = 141.4\sin(314t + \pi/6)\) [V] なら、実効値は \(141.4/\sqrt2 = 100\) V、初期位相は \(30^\circ\) なので、フェーザは \(\dot{E} = 100\angle30^\circ\) です。逆変換も同様に一瞬でできます。「演習でフェーザ表示値を求めよ」と言われたら、\(r\angle\theta\) の形(または \(a+jb\))で答えればよい、ということです。

2.5微分が jω 倍になる — フェーザ法の心臓部

フェーザ法が微分方程式を殺せる理由を確認します。\(e(t)=\sqrt2E\sin(\omega t+\theta)\) を時間で微分すると、

結果を観察してください。微分してできた波は、(1) 大きさが \(\omega\) 倍、(2) 位相が \(90^\circ\) 進んだ、同じ周波数の正弦波です。フェーザの言葉に訳すと「大きさを \(\omega\) 倍して \(90^\circ\) 回す」。そして1.6節で見た通り、「\(90^\circ\) 回す」= 「\(j\) を掛ける」でした。つまり:

微分という解析の操作が、複素数の掛け算という代数の操作に化けました。これで、コイル(\(v=L\,di/dt\))もコンデンサ(\(i=C\,dv/dt\))も、ただの「複素数の比例定数」として扱えます。それが3章のインピーダンスです。

2.6フェーザで書き直すキルヒホッフ則

直流回路で使ったキルヒホッフの2法則は、フェーザでもそのまま成立します(足し算は波の重ね合わせであり、フェーザの足し算と1対1に対応するため)。

• 電流則(KCL):節点に流れ込むフェーザ電流の総和 = 流れ出す総和。例:No.2 の節点Aでは \(\dot{I_1}+\dot{I_2}=\dot{I_3}\)。
• 電圧則(KVL):閉路一周のフェーザ電圧の総和 = 0。

ただし複素数のまま足すのが鉄則です。大きさだけ足してはいけません(\(|\dot{I_1}|+|\dot{I_2}| \ne |\dot{I_1}+\dot{I_2}|\)。矢印は向きが違えば打ち消し合うからです)。この事実は後で3電圧計法(6.7節)の主役になります。

2.7単位の接頭辞 — 地味だが失点源ナンバーワン

演習の数値は mH(ミリヘンリー)や μF(マイクロファラド)で与えられます。計算はすべて基本単位(H, F)に直してから行います。

換算ミスの実害を一度体験しておきましょう。\(\omega=800\) rad/s、\(C=25\) μF のとき:

ここで μ を忘れて \(C=25\) とすると答えは \(5\times10^{-5}\,\Omega\)。桁が6つ飛びます。指数表記(\(25\times10^{-6}\))のまま計算し、最後に電卓に入れるのが安全です。

3.1抵抗 R — 基準となる素子

抵抗は直流と同じで、瞬時値でもオームの法則が成り立ちます:\(v = Ri\)。電流 \(i=\sqrt2I\sin\omega t\) を流すと \(v = \sqrt2RI\sin\omega t\)。電圧と電流は同じタイミングで振動します(同相)。フェーザで書くと:

比例定数は実数 \(R\)。角度を変えないので位相差は 0° です。

3.2コイル L — 電流の変化を嫌う素子

コイル(インダクタ)の素性は「電流が変化すると、それを妨げる向きに電圧を生む」(電磁誘導)。式では

\(L\) はインダクタンス [H](ヘンリー)で、コイルの「電流変化への抵抗感」の強さです。ここで2.5節の変換 \(d/dt \to j\omega\) を適用すると、フェーザでは

読み取れることは2つです。

• 大きさ:電圧は電流の \(\omega L\) 倍。この \(\omega L\) がコイルの「交流に対する抵抗の強さ」で、周波数が高いほど大きい(速い変化ほど強く妨げる)。
• 角度:\(j\) が掛かる = 電圧は電流より 90° 進む。裏返すと「コイルでは電流が電圧より 90° 遅れる」。直感的には、コイルが電流の立ち上がりを妨げるので、電流は電圧に対してワンテンポ遅れてついてくる、と覚えられます。

3.3コンデンサ C — 電圧の変化を嫌う素子

コンデンサは電荷をためる素子で、\(q = Cv\)。電流は電荷の時間変化なので

\(C\) は静電容量(キャパシタンス) [F](ファラド)。フェーザに直すと \(\dot{I} = j\omega C\dot{V}\)、つまり

途中の変形 \(\dfrac{1}{j} = \dfrac{j}{j^2} = -j\) は頻出なので、その場で出せるようにしてください。読み取りはコイルの正反対です。

• 大きさ:電圧は電流の \(\dfrac{1}{\omega C}\) 倍。周波数が高いほど「抵抗感」は小さくなる(速い変化ならコンデンサは楽に電荷を出し入れできる)。
• 角度:\(-j\) が掛かる = 電圧は電流より 90° 遅れる。つまり「コンデンサでは電流が電圧より 90° 進む」。まず電流が流れ込んで電荷がたまり、その結果として電圧が後から立ち上がる、という順序を思い浮かべると自然です。

3.4インピーダンスとリアクタンス

3素子とも、フェーザでは \(\dot{V} = \dot{Z}\dot{I}\) という「複素数版オームの法則」の形に収まりました。この比例定数をまとめて呼ぶ名前を与えます。

• コイルのリアクタンス(誘導性リアクタンス):\(X_L = \omega L\)。インピーダンスは \(\dot{Z}=jX_L\)。
• コンデンサのリアクタンス(容量性リアクタンス):\(X_C = \dfrac{1}{\omega C}\)。インピーダンスは \(\dot{Z}=-jX_C\)。

3.53素子 完全対照表(No.1 の知識はこれで全部)

ここまでの内容を1枚にまとめます。丸暗記ではなく、各行が3.1〜3.4節のどこから来たか説明できることを目指してください。最終行だけ補足すると、素子に \(\dot{E}=E\angle0^\circ\) を加えたときの電流は \(\dot{I}=\dot{E}/\dot{Z}\) なので、角度は「\(0^\circ - (\dot{Z}\)の角度\()\)」になります(1.6節の割り算則)。

最終行の導出を1つだけ確認しておきます(コンデンサ):

「電流が90°進む」という3.3節の言葉と、計算結果がちゃんと一致しています。言葉・数式・図の3つが常に同じことを言っている——この確認を習慣にすると、交流回路は怖くなくなります。

4.1直列と並列 — 公式は直流と同じ形

インピーダンスは「複素数版の抵抗」なので、合成の公式は直流の抵抗とまったく同じ形です。中身が複素数になっただけです。

直列の例:\(R=30\,\Omega\) とコイル \(X_L=40\,\Omega\) の直列なら \(\dot{Z} = 30+j40 = 50\angle53.13^\circ\ \Omega\)。足すだけです。並列は割り算が入るので、1章の有理化がそのまま主戦場になります。

4.2分圧と分流

これも直流と同じ形です。導出は「直列なら電流共通」「並列なら電圧共通」から1行です。

4.3例題で流れをつかむ

4.4よくあるミス総点検

• 単位換算忘れ:mH・μF を基本単位に直してから \(\omega L\)、\(1/(\omega C)\)(2.7節)。
• \(f\) と \(\omega\) の取り違え:Hz で来たら \(\omega = 2\pi f\) が先(2.1節)。
• \(1/j = -j\) の処理:コンデンサの符号ミスはここから生まれる(3.3節)。
• 象限の確認不足:実部が負なら電卓の \(\tan^{-1}\) に180°補正(1.5節)。
• 大きさだけの足し算:\(|\dot{Z_1}+\dot{Z_2}| \ne |\dot{Z_1}|+|\dot{Z_2}|\)。複素数のまま足す(2.6節)。

5.0準備:電源を「殺す」とはどういうことか

この章の定理は、どれも「一部の電源を取り除いた回路」を考えます。取り除き方には正しい作法があります。

また、キルヒホッフ則(2.6節)はこの章の共通言語です。「節点で電流が保存する(KCL)」「一周すると電圧が戻る(KVL)」——定理はすべて、この2つと素子の線形性から導かれる時短テクニックにすぎません。だから、定理の結果はいつでも地道な連立方程式で検算できます。

5.1重ねの理 — 電源を1つずつ相手にする

なぜ成り立つか:回路方程式(KCL・KVL・\(\dot{V}=\dot{Z}\dot{I}\))がすべて一次式だからです。一次式の解は入力(電源)について線形なので、「入力を分けて解いて足す」ことが許されます。逆に言うと、ダイオードのような非線形素子が入ると使えません。

1. 電流の向き(矢印)を回路図に書き込み、固定する。以後すべての計算をこの向き基準で行う。
2. 電源を1つ残して他を短絡した回路を作り、直並列+分流で各電流を求める。
3. これを電源の数だけ繰り返す。
4. 同じ枝の電流を複素数のまま足す。矢印と逆向きに流れる成分は負号付きで足すことになる(自動的にそうなる)。

5.2テブナンの定理 — 回路を「1電源+1インピーダンス」に畳む

「この2端子につないだ負荷に流れる電流だけ知りたい」という場面(まさに No.4)では、回路全体を毎回解くのは無駄です。テブナンの定理は、負荷から見た残り全部を圧縮してくれます。

つまり、どんなに複雑な回路も、端子から見れば「起電力 \(\dot{E_{ab}}\)、内部インピーダンス \(\dot{Z_{ab}}\) の1つの電池」と等価だ、という主張です。手順は毎回同じ4手です。

1. 負荷 \(\dot{Z}\) を外す(開放する)。
2. 開放電圧 \(\dot{E_{ab}}\) を求める。負荷が居ないぶん回路は単純(たいてい分圧1発)。
3. 電源を殺して \(\dot{Z_{ab}}\) を求める(たいてい直並列1発)。
4. \(\dot{I} = \dot{E_{ab}}/(\dot{Z_{ab}}+\dot{Z})\)。

5.3ミルマンの定理 — 並列回路専用の飛び道具

「電源つきの枝が何本も同じ2つの節点間に並列している」という形(No.5 がまさにこれ)には、専用の必殺技があります。導出が簡単なので、先に導出から見せます。上側の節点の電位を \(\dot{V}\)(下側基準)とすると、KCLより各枝の電流の総和は0:

これを \(\dot{V}\) について解くだけです(電源のない枝は \(\dot{E}=0\) とすればよい):

5.4補償の定理 — 「変更後」を全部解き直さないために

回路の一部のインピーダンスが変わったとき(素子の追加・部品の値変更)、回路全体を解き直すのは芸がありません。補償の定理は「変化ぶんだけ」を独立に計算させてくれます。No.3 の後半はこの定理の練習です。

直感:枝に \(\Delta\dot{Z}\) を追加すると、そこに余計な電圧降下 \(\Delta\dot{Z}\dot{I}\) が生まれます。この余計な降下は、「その場に逆向きの電圧源を差し込んだ」のと同じ効果を回路に与える——これが定理の中身です。まず一番単純な直列回路で確かめます。

6.1瞬時電力から平均電力へ

電力の定義はいつでも \(p = vi\)(電圧×電流)です。交流では両方が振動しているので、まず正直に掛けてみます。電圧 \(v=\sqrt2V\sin(\omega t+\theta_v)\)、電流 \(i=\sqrt2I\sin(\omega t+\theta_i)\) とすると、積和公式 \(\sin A\sin B = \frac12\{\cos(A-B)-\cos(A+B)\}\) より

第2項は倍の周波数で振動する項で、平均するとゼロ。残るのは第1項、時間によらない定数だけです。これが平均電力(有効電力)です。

\(V, I\) は実効値です(実効値でフェーザを書く約束が、ここで効いています)。\(\cos\theta\) を力率と呼びます。位相差が開くほど、同じ \(V\)・\(I\) でも実際に仕事をする電力は減ります。

6.2有効・無効・皮相電力と力率

• 有効電力 \(P = VI\cos\theta\) [W]:実際に消費される(熱や仕事になる)電力。
• 無効電力 \(Q = VI\sin\theta\) [var]:LやCとの間を往復するだけで消費されない電力。
• 皮相電力 \(S = VI\) [VA]:見かけの電力。\(S^2 = P^2+Q^2\) の関係(直角三角形)。
• 力率 \(\cos\theta = P/S\):皮相電力のうち、実際に仕事になる割合。

重要な物理的事実:電力を消費するのは抵抗だけです。理想のコイル・コンデンサでは電圧と電流の位相差が±90°、つまり \(\cos(\pm90^\circ)=0\) なので \(P=0\)。エネルギーを貯めては返しているだけです。したがって、抵抗 \(R\) に実効値 \(I\) が流れているなら、素直に

で計算できます。回路の全消費電力は「各抵抗の \(I^2R\) の合計」です。

6.3複素電力 S = V̇ Ī — なぜ共役を掛けるのか

P と Q をいちいち \(\cos\)・\(\sin\) で計算するのは面倒です。フェーザから一撃で出す道具が複素電力です。\(\dot{V} = V\angle\theta_v\)、\(\dot{I} = I\angle\theta_i\) とし、電流の共役 \(\bar{I} = I\angle(-\theta_i)\) を電圧に掛けてみます:

実部が有効電力、虚部が無効電力。共役を掛ける理由は「角度を引き算して、電圧と電流の位相差 \(\theta\) だけを残すため」です。共役にせず \(\dot{V}\dot{I}\) と掛けると角度が \(\theta_v+\theta_i\) になり、位相差の情報が壊れます。

6.4電力の保存 — 供給 = 消費の総和

エネルギー保存則により、電源が供給する有効電力は、各素子が消費する有効電力の総和に等しい(無効電力も同様に保存します)。これは強力な検算手段です。例題で確認します。

6-5最大電力問題 — 可変コンデンサで R の電力を最大化する

No.7 の型です。「コイル \(L\) が直列に入った先に、可変コンデンサ \(C\) と抵抗 \(R\) の並列。\(C\) をどう選ぶと \(R\) の消費電力が最大になるか」。誘導に従って、電流→共役→複素電力→最大条件、の順で解きます。文字のまま進めるのがコツです。

6.6力率改善 — コンデンサで無効電流を打ち消す

モーターのような誘導性負荷は電流が遅れ、力率が悪くなります。電力会社視点では、同じ \(P\) を送るのに大きな電流が必要になり損です。そこで負荷と並列にコンデンサを入れて、遅れの無効分を進みの電流で打ち消します。これが力率改善で、No.8 の型です。

6.73電圧計法 — 電圧計3つで電力を測る

位相差を直接測る道具がなくても、電圧計3つと既知の抵抗1本があれば負荷の消費電力を測れます。それが3電圧計法(No.9)です。原理は「フェーザの足し算は大きさの足し算ではない」(2.6節)を逆手に取ったもの——大きさのズレ具合に位相差の情報が入っているのです。

回路:電源 → 既知抵抗 \(R_0\) → 負荷 \(\dot{Z}\)。\(V_1\)=電源電圧、\(V_2\)=\(R_0\) の電圧、\(V_3\)=負荷の電圧(いずれも実効値=電圧計の読み)。

導出:電流 \(\dot{I}\) を基準(0°)に取ります。\(\dot{V_2} = R_0\dot{I}\) は電流と同相。\(\dot{V_3}\) は負荷の位相角 \(\theta\) だけ進むとします。KVL より \(\dot{V_1} = \dot{V_2}+\dot{V_3}\)。大きさの2乗を取ると(余弦定理そのものです):

ここで負荷の消費電力は \(P = V_3I\cos\theta = V_3\cdot\dfrac{V_2}{R_0}\cos\theta\)。上の式から \(V_2V_3\cos\theta = \dfrac{V_1^2-V_2^2-V_3^2}{2}\) を代入して:

7.1相互インダクタンス M

2つのコイルが近くにあると、片方の電流が作る磁束がもう片方を貫きます。すると、コイル1の電流変化がコイル2に電圧を誘導します(電磁誘導)。この「もらい誘導」の強さが相互インダクタンス \(M\) [H] です。自分の電流変化による誘導(自己インダクタンス \(L\))に、相手からの項が加わる形になります:

フェーザで書けば(2.5節)、\(d/dt\) が \(j\omega\) になるだけです:

問題は \(\pm\) の符号です。これは巻き方の向きで決まり、回路図ではドット(●)で指定されます。

7.2ドット記法 — 符号を一発で決めるルール

ドットは「磁束の向きが揃う端子」の印です。両方ともドットから流し込めば磁束が強め合う(+M)、逆なら弱め合う(−M)。式を立てる前に、自分が決めた電流の矢印がドットに対してどっち向きかを毎回確認してください。No.10 の図もドットが打ってあるので、この確認が第一手です。

7.3T形等価回路 — 結合を「ただの回路」に変換する

結合回路の連立式は解けますが、毎回連立を解くのは重い。そこで、M を含む回路を、M を含まない普通のコイル3つの回路に描き換えるテクニックがあります。それがT形等価回路です。導出は式変形だけでできます。基本式(+Mの場合)を、無理やり \((\dot{I_1}+\dot{I_2})\) が見える形に変形します:

この2式をよく見ると、こう読めます:「電流 \(\dot{I_1}\) はまずコイル \((L_1-M)\) を通り、電流 \(\dot{I_2}\) はコイル \((L_2-M)\) を通り、合流した \((\dot{I_1}+\dot{I_2})\) が共通のコイル \(M\) を通る」。つまり次のT字型の回路と、端子から見て完全に同じ振る舞いをします。

7.4結合係数 k

結合の強さの無次元指標が結合係数です:

\(k=1\)(\(M = \sqrt{L_1L_2}\)、すなわち \(L_1L_2 = M^2\))は漏れ磁束ゼロの完全結合(密結合)で、理想変圧器(8章)に一歩近づいた状態です。「\(L_1L_2=M^2\) という条件式を見たら完全結合のことだ」と反応できるようにしておいてください。

7.5例題:結合回路のインピーダンス

7.6「R によらず一定」型の問題の考え方

No.10(3) のような「出力が \(R\) の値によらず一定になる条件を求めよ」という問いは、結合回路に限らず頻出の型です。攻め方を一般論として身につけましょう。求めたい量(例えば出力電圧 \(\dot{V}\))を \(R\) を含んだ式で書き下すと、線形回路では必ず

という\(R\) の一次分数式になります。これが \(R\) によらないための条件は:

この手順は No.10 にそのまま適用できます。(2) の分圧で符号や分母を丁寧に——ここまでの章の技術だけで最後まで到達できるはずです。

8.1理想変圧器の2つの式

理想変圧器は、7章の結合回路の理想化(完全結合 \(k=1\)、コイルのインダクタンス無限大、損失ゼロ)です。巻数比 \(1:n\)(一次:二次)のとき、性質は次の2式に尽きます。

電圧は巻数に比例(1巻きあたりの誘導電圧が共通の磁束で決まるため)、電流は巻数に反比例(起磁力のつり合い)。2式を掛け合わせると

つまり複素電力は一次側と二次側で等しい。理想変圧器は電力を消費も生成もせず、電圧と電流の「比率」だけを組み替える装置です。

8.2インピーダンス変換 — n² の法則

二次側に負荷 \(\dot{Z_2}\) をつなぐと、一次側からはどう見えるでしょうか。定義どおり計算します:

この式のおかげで、変圧器入りの回路は「二次側を \(n^2\) で割って一次側に持ってくる」だけの、変圧器なしの回路に描き換えられます。解く手順は毎回これです:

1. 二次側の合成インピーダンス \(\dot{Z_2}\) を求める。
2. \(\dot{Z_1}' = \dot{Z_2}/n^2\) に変換し、一次側だけの等価回路を描く。
3. 等価回路で一次電流 \(\dot{I_1}\)、一次端子電圧 \(\dot{V_1}\) を求める。
4. 必要なら \(\dot{V_2}=n\dot{V_1}\)、\(\dot{I_2}=\dot{I_1}/n\) で二次側に戻す。

8.3例題:フルコース

A.1頻出の直角三角形

演習の数値は、この3種類(特に3:4:5)になるよう仕組まれていることが多いです。\(\sqrt{a^2+b^2}\) を計算する前に「これは3:4:5では?」と疑うと速い。

A.2逆正接の早見表

象限補正を忘れずに(1.5節):実部が負なら ±180° の補正。例:\(-2-j4\) → 電卓は 63.43° → 正しくは −116.57°。

A.3単位・記号一覧

A.4本文の重要公式インデックス

• 有理化:\(\frac{1}{a+jb} = \frac{a-jb}{a^2+b^2}\) — 1.3節
• 極形式の乗除:大きさは掛け・割り、角度は足し・引き — 1.6節
• \(d/dt \leftrightarrow j\omega\) — 2.5節
• 素子:\(R\)、\(j\omega L\)、\(1/(j\omega C)=-j/(\omega C)\) — 3章
• 和分の積・分圧・分流 — 4.1〜4.2節
• テブナン \(\dot{I}=\dot{E_{ab}}/(\dot{Z_{ab}}+\dot{Z})\) — 5.2節/ミルマン — 5.3節/補償 \(\Delta\dot{E}=\Delta\dot{Z}\dot{I}\) — 5.4節
• \(P=VI\cos\theta\)、\(\dot{S}=\dot{V}\bar{I}=P+jQ\) — 6.1〜6.3節
• 3電圧計法 \(P=(V_1^2-V_2^2-V_3^2)/2R_0\) — 6.7節
• T形等価:\(L_1-M,\ L_2-M,\ M\) — 7.3節/結合係数 \(k=M/\sqrt{L_1L_2}\) — 7.4節
• 理想変圧器:\(\dot{V_2}=n\dot{V_1}\)、\(\dot{I_2}=\dot{I_1}/n\)、\(\dot{Z_1}'=\dot{Z_2}/n^2\) — 8章